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中心極限定理で本当に正規分布になるのかを実験してみる

投稿日:2019-12-29
最終更新:2019-12-29

中心極限定理は非常に有名ですが、本当に正規分布に近づくのか試したことがありませんでしたので、実験してみました。

中心極限定理のおさらい

中心極限定理は以下のとおりです。

中心極限定理:平均$\lambda$、分散$\sigma^2$の分布からサンプリングされた$n$個の標本の平均の分布は$n$が大きくなると、平均$\lambda$、分散$\sigma^2/n$の正規分布に近づく。

大事なコトは、分布が正規分布でなくともある分布から平均を何度も計算してみると、それらの分布が正規分布に近づくという点です。
知らなかった方はええー!?となりませんか?分布を限定せずに正規分布になるのか!と。
ただし分散が定義できない分布の場合にはその限りではなく、注意が必要です。

実験

ベルヌーイ分布とポアソン分布からサンプルされた標本の平均の分布を計算してみます。
平均を計算するときの標本数が5、10、50、100のケースを示しています。
また、どの実験においても平均は1000回計算しています。

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布の平均は0.3で実験しています。
以下のグラフがサンプルされた平均の分布です。


ベルヌーイ分布の平均の分布が正規分布に近づいていってますね!
ちなみに中心極限定理では分散が$\sigma^2/n$の正規分布に近づくといっていますが、実際次のようになっています。

標本数 標本平均 標本分散 中心極限定理による分散$\sigma^2 / n$
5 0.308 0.0413 0.042
10 0.307 0.0216 0.0210
50 0.300 0.00402 0.0042
100 0.299 0.00209 0.0021

定理通りの結果になっていると言えそうです。

ポアソン分布

ポアソン分布の平均は5で実験しています。
以下のグラフがサンプルされた平均の分布です。

標本数 標本平均 標本分散 中心極限定理による分散$\sigma^2 / n$
5 4.98 0.985 1.0
10 5.013 0.543 0.5
50 5.00 0.104 0.1
100 4.99 0.0508 0.05

ポアソン分布も正規分布に近づいていますね。ベルヌーイ分布と比較してみると、早く収束しています。

結論

中心極限定理はちゃんと成り立っていた!

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